1 Целые числа

Как отмечалось уже в самой первой заметке целые числа имеют свою специфику, в частности, специальные вычислительные операции над ними.

1.1 Представление

Что есть целое число рассматривается в курсе алгебры. Оно в частности не имеет дробной части.

Десятичное представление. Неотрицательные целые числа можно записать в десятичной системе записи. Необходимо четко понимать, что фактически это означает следующее:

Таким образом число представляется в виде суммы степеней числа десять ($10^i$) умноженных на некий неотрицательный коэффициент ($a_i$) меньшей 10: ${\sum }_{i=0}^{i=k}{a}_{k}10^k,$ где $a_k\ne 0,0\le a_i<10$. Коэффициент $a_k$ является старшим, точнее говоря, можно сказать, что для представления числа потребовалось $k+1$ разрядов. Само число можно писать в виде $123_{10}$, где цифра $10$ указывается для того, чтобы подчеркнуть десятичную систему исчисления.

Такое разложение можно выполнить не только для числа $10$, но и для других положительных целых чисел, т.е. по других основаниям. В других системах исчислениях дабы это подчеркнуть в качестве правого нижнего индекса указывается соответствующее число.

С вычислительными системами тесно связаны двоичная и шестнадцатеричная система исчисления.

Двоичное представление Можно представить число и в родной компьютеру системе исчисления, а именно – в двоичной системе (иначе, бинарное представление). В данной системе число записывается не по базе $10$, а по базе $2$, т.е. $i$ разряд соответствует числу $2^i$. Соответственно $a_i$ будут просто равны либо $0$ либо $1$. Для рассмотренного ранее числа:

По аналогии с десятичной системой это число можно записать компактно как:

Упражнение. Напишите программу, которая печатает двоичное представление введенного числа.

В программах на Си числа в бинарном представлении можно использовать только в последних редакциях (C++14):

Шестнадцатеричные числа Одна из причин того, что бинарное представление в языке Си отсутствовало так долго, заключается в том, что оно крайне длинное. Более профессионально использовать шестнадцатеричное представление чисел. Продолжая представления того же числа по аналогии для основания $16$:

Для удобства в шестнадцатеричной системе разряды имеющие значение больше равное чем $10$ заменяются на буквенное представление:

В согласие с отмеченными обозначениями:

В программах на Си числа в шестнадцатеричном представлении можно записать следующим образом:

Более того, в отличии от двоичного представления числа можно напечатать в шестнадцатеричном представлении используя нужный формат в printf

По аналогии с печатью числа могут быть считаны в шестнадцатеричной системе исчисления:

При записи чисел альтернативой к $7b_{16}$ является $7bh$, т.е. в конце числа добавляется символ $h$. Это связано с тем, что не всегда есть возможность напечатать нижний индекс, в особенности это касается число текстовых файлов, например, исходных файлов с программой.

Упражнение. Доделайте прошлый фрагмент кода так, чтобы он вывел число как 7bh.

Упражнение. Напишите программу которая выводит число в произвольной системе исчисления.

Восьмеричные числа Для восьмеричной системы справедливо:

В программах на Си числа в восьмеричном представлении можно записать следующим образом:

Печать и считывание в восьмеричной системе полностью аналогична шестнадцатеричной системе. В формате вместо x нужно использовать o:

1.2 Целые числа в Си

Как было показано в предыдущем подразделе число можно представить в двоичной системе исчисления. Каждый разряд может быть либо $0$ либо $1$, минимальный элемент памяти – бит, который фактически соответствует неким физическим процессам. В памяти компьютера можно хранить только ограниченное количество битов. С числами рациональное оперировать когда они имеют одинаковое количество битов, т.е. представлены фиксированным заранее определенным количеством битов.

В следствии чего в компьютере целые числа имеют несколько подтипов, характеризующиеся количеством разрядов в представлении числа. С точки зрения удобства количества битов в представление числа увеличивается в два раза с каждым увеличением разрядности числа. Стандартно: $8$, $16$, $32$, $64$ и так далее.

Знаковый тип Данный тип данных уже не раз ранее встречался в заметках:

Есть типы встроенные в сам язык: char, short, int, long int, long long int. Об их размере известно только то, что он не убывает.

Такое представление Кольцо вычетов.

Без знаковый Добавляется слово unsigned:

Такую модификацию можно сделать с любым из целым типом ранее перечисленных: unsigned char, unsigned short, unsigned int, unsigned long int, unsigned long long int.

1.3 Платформонезависимые типы

Рассмотренные выше типы языка Си (char, short, int, ... ) лучше всего использовать в обычных вычислениях, где не важен точный битовый размер каждого из типов данных. В задачах, где как раз битовый размер важен, предпочтительно использовать предопределенные специальные типы. Отмечу, что рассматриваемые вспомогательные типы данных не задаются языком Си, а являются частью часто идущим с ним стандартной библиотеки (они определяются в заголовочном файле stdint.h).

Объявление переменных Для создания типа нужного размера лучше воспользоваться вспомогательными знаковыми типами: int8_t, int16_t, int32_t и тому подобные. Они гарантируют нужный размер в битах. Соответственно вспомогательные беззнаковые типы обозначаются как: uint8_t, uint16_t, uint32_t и тому подобные.

Ввод и вывод Для выполнения операций ввода/вывода лучше всего использовать опять же корректный способ. Для это придется добавить ещё один заголовочный файл inttypes.h. Тогда

Этих вариантов много. В большинстве случаев можно догадаться, иначе можно просто открыть отмеченный заголовочный файл и проверить.

1.4 Двоичные операции

Считается что число имеет фиксированное количество битов в его представлении. Битовые операции выполняются по-битово, т.е. для каждого из разрядов по-отдельности. Последнее фактически означает, что результат операции для какого либо разряда не влияет на результат действия двоичной операции на другие разряды. Можно считать, что операции выполняются в неком смысле в параллель.

Унитарная операция Выполняется с одним битом одного операнда (числа). Инвертирование каждого из битов, в языке Си обозначается операцией $\sim$:

Так,

В последнем выражении просьба не путать унитарную операцию и операцию сведения к числу.

Бинарные операции Действуют между двумя числами. В Си заданы следующие бинарные битовые операции: и (см. а), или (см. б.) и либо (см. в.).

Не путать с логическими операциями И и ИЛИ в которых используется двойной символ (соответственно, $\&\&$ и $\left|\right|$).

Битовый сдвиг С точки зрения битового представления в процессорах есть и в языке Си реализована операция побитового сдвига, а именно – число можно по-битово сдвинуть как влево($<<$), так и право ($>>$). По сути этим операциям соответствует умножение и деление на $2$. Но есть тонкости.